Александр Попов родился 12 сентября 1921 года в селе Мошинское, Архангельская область. Окончил четыре класса Мокшинской неполной средней школы. В 1932 году вместе с семьей переехал в Архангельск. Здесь продолжил учебу в средней школе. По окончании 10 класса в 1939 году уехал в Киев и поступил во Второе Киевское артиллерийское училище. В июне 1941 года лейтенант получил назначение во Львов на должность командира артиллерийского взвода 7-го гаубичного артиллерийского полка 8-й танковой дивизии Киевского особого военного округа.
В действующей армии в Великой Отечественной войны лейтенант Попов с 22 июня 1941 года, воевал на Юго-Западном фронте. Участник оборонительного сражения на Западной Украине и Киевской оборонительной операции. В бою у города Староконстантинов получил тяжелое ранение пулей в грудь. Почти год лечился в госпиталях Запорожья, Сочи и Дербента. В мае 1942 года его по состоянию здоровья определили на службу в тылу.
В декабре Александр Попов вновь в действующей армии. Являлся командиром батареи 50-го запасного артиллерийского полка 44-й армии в составе Закавказского, Северо-Кавказского, Южного фронтов. С февраля 1943 по февраль 1945 года командовал батареей 122-миллиметровых гаубиц в 1054-м артиллерийском полку в составе 44-й, 51-й и 5-й ударной армий. В боях многократно проявлял мужество и отвагу. Участвовал в Мелитопольской операции, Висло-Одерской наступательной операции. В бою на Кюстринском плацдарме вторично тяжело ранен и более полугода лечился в госпиталях.
За образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство указом Президиума Верховного Совета от 27 февраля 1945 года капитану Попову Александру Сергеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После выздоровления Попов продолжал службу в Красной Армии. С октября 1945 года занимал должность командира артиллерийского дивизиона. Затем являлся заместителем командира артиллерийского дивизиона в составе Группы советских оккупационных войск в Германии. В 1949 году окончил Высшую офицерскую артиллерийскую школу, после чего продолжил службу в той же должности в Приволжском военном округе. В 1956 году окончил Центральные артиллерийские курсы усовершенствования офицерского состава. Стал старшим офицером отдела боевой подготовки в штабе Приволжского военного округа.
В 1961 году Александр Попов окончил Высшие академические курсы при Военной артиллерийской академии. Занял должность заместителя командира артиллерийского полка в туркестанском военном округе. Затем являлся начальником ракетных войск и артиллерии мотострелковой дивизии в том же округе. В июне 1970 года уволен в запас по болезни.
Александр сергеевич жил в городе Краснодар. Работал инструктором и заместителем начальника Краснодарской краевой спортивно-технической школы ДОСААФ. Вел активную военно-воспитательную и патриотическую работу. Скончался 22 марта 1991 года. Похоронен на участке почетного захоронения Славянского кладбища Краснодара.